Sorprendentemente (o no) la versión del Rompezabezas del mandarín sobre un tablero 4×4 es más complicada que la original que acabamos de estudiar. Al menos si no se nos permite usar un tablero equivalente con un grafo menos enrevesado. Este es el grafo que resulta de unir las casillas conectadas tal como están dispuestas en el tablero original:
Una opción es colocar las piezas 1 y 4 (no es muy difícil) y luego usar el circuito de la figura 12 (con uno de sus saltos-2) para colocar poco a poco las demás piezas de forma relativa y finalmente en sus casillas de destino. Es un procedimiento similar al descrito con Hexadecágono con salto-2. Este método, además de ser muy lento, resulta sencillo en un tablero diáfano como el de Hexadecágono con salto-2, pero se complica cuando las piezas del ciclo no están numeradas por orden y las conexiones se cruzan mucho.
Antonio Javier Serrano Mora encontró este otro grafo equivalente (yo lo he modificado un poco):
Puede comprobar the reader que lo único que hemos hecho es mover los vértices para que las líneas de conexión no formen un enredo tan espantoso, pero las relaciones entre puntos siguen siendo las mismas. Y como ver es creer, he aquí la animación del proceso:
Manhla incluye un juego con un tablero como este llamado Cuadrojo. Resolver Cuadrojo es equivalente a resolver Manda 4×4, en el sentido de que hay que hacer los mismos movimientos en ambos casos. Pero la experiencia es diferente: la mayor claridad de Cuadrojo simplifica mucho el proceso.
Vamos a explicar un método para resolver Cuadrojo por grupos de piezas, al estilo del que hemos explicado para Manda. La siguiente imagen define cinco grupos de piezas y casillas:
En la fase 1 colocaremos las piezas 9, 15, 8 y 2; en la 2 las piezas 4, 6, 13 y 11; etc.
Primero colocaremos individualmente las piezas 9 y 15. Después, precolocaremos las 2 y 8 para finalmente colocar ambas.
Hay que encontrar un camino desde la posición actual de la pieza 9 hasta la casilla 9 y repetir los dos pasos siguientes hasta que la pieza 9 esté en la casilla 9:
Vamos a poner un ejemplo. En la imagen siguiente, el punto verde indica la localización de la pieza 9 y el punto naranja la del hueco. El camino para llevar la pieza 9 a su destino pasa por la casilla 7.
La casilla siguiente del camino es la número 7. Para llevar allí el hueco primero hay que encontrar un camino desde la casilla 11. El más corto, marcado en la siguiente imagen de color naranja, no interfiere con la pieza 9.
Después de mover las piezas que ocupaban las casillas 2, 9 y 7 habremos completado el primer paso. El segundo es simplemente mover la pieza 9.
Como la pieza 9 aún no está en su casilla, hay que repetir los dos pasos. La casilla siguiente de la ruta de la pieza 9 (figura 52) es ya la casilla 9. En esta ocasión el camino más corto desde el hueco hasta esta casilla sí interfiere con la pieza 9, así que hay que buscar una alternativa que no lo haga. Hay dos de longitud 4, marcadas de naranja y rojo en la imagen anterior. Después del siguiente paso, la pieza 9 estará colocada y el hueco estará en la casilla 7.
Como se ha podido ver, la única dificultad de este procedimiento es encontrar las rutas necesarias, tanto para la pieza en cuestión como (sobre todo) para el hueco. Con un grafo claro como el de Cuadrojo no es difícil, pero con la disposición de Manda 4×4 usando el salto de caballo se complica.
La pieza 15 se coloca igual que la 9 con la única diferencia de que ahora hay que evitar a la pieza ya colocada. Este es el procedimiento modificado:
Encontrar un camino desde la posición actual de la pieza 15 hasta la casilla 15 que no pase por la casilla 9 y repetir los dos pasos siguientes hasta que la pieza 15 esté en la casilla 15.
La imagen muestra el camino más corto para la pieza 15 (que parte de la casilla 10) y un posible camino para el hueco (al que antes dejamos en la casilla 7) hasta la casilla 8 (otro camino de 5 pasos sería 7-14-12-6-15-8).
La siguiente imagen ilustra la segunda iteración del procedimiento, mostrando un posible camino para el hueco hasta la casilla 15.
Una vez colocadas las piezas 9 y 15 no las volveremos a mover, así que de cara a nuestro análisis podemos eliminar los correspondientes nodos del grafo, así como las aristas de las que son extremos.
La pareja 2-8 debemos colocarla de forma coordinada, similarmente a como hicimos en la fase 2 de Manda. Se puede empezar poniendo la pieza 2 en la casilla 8 o la pieza 8 en la casilla 2. Pongamos la pieza 2 en la casilla 8.
El método es el mismo de antes y no vamos a escribir de nuevo los pasos. La parte del grafo que queda es suficiente para encontrar caminos para la pieza 2 y para el hueco.
Después colocamos la pieza 8 en la casilla 10. Se hace del mismo modo.
Por último, llevaremos el hueco a la casilla 2 y moveremos las piezas 2 y 8 para colocarlas en sus posiciones finales.
Un caso especial se produce cuando después de colocar la pieza 2 en la casilla 8 nos encontramos (por casualidad) con la pieza 8 en la casilla 2 o en la casilla 11 y el hueco en la 2. En las siguientes imágenes la pieza 2 está representada por el círculo verde, la 8 por el rojo y el hueco por la naranja. Después de llegar la pieza 2 a la casilla 8 el hueco tiene que estar en la 10 o en la 2.
Desde la posición de la figura 58 podemos invertir las piezas 2 y 8 ejecutando los siguientes movimientos (se indican los números de las casillas sobre las que hay que actuar, no los de las piezas que se mueven):
8 2 11 5 3 10 8 2 11 5 14 7 16 10 3 5 11 2 8 10 16 7 14 5 11 2 8 10
Obviamente desde la posición de la figura 59 podemos llegar fácilmente a la de la 58, pero ahorraremos algunos movimientos haciendo algo similar por el lado derecho.
Ya no moveremos las piezas 8 y 2, así que podemos podar de nuevo el grafo:
Colocamos primero la pieza 4 en su casilla. Está claro que aún restringiéndonos a este grafo simplificado es posible hacerlo sin dificultad siguiendo un procedimiento similar al ya explicado. Así que demos ya por colocada dicha pieza y pasemos a la subfase 2.2.
Estas tres piezas tendremos que colocarlas de forma parecida a las 2 y 8 de antes, de forma conjunta. Empezaremos poniendo la pieza 11 en la casilla 6 y a continuación la 13 en la 12. Hecho esto bajaremos ambas una posición (la 11 a la 13 y la 13 a la 6). Después llevaremos la pieza 6 a la casilla 12 y por último, ya con las tres piezas bien alineadas, las llevaremos a sus posiciones finales. Podemos esquematizar el proceso así:
11 → 6
13 → 12
11 → 13
13 → 6
6 → 12
11 → 11
13 → 13
6 → 6
Para llevar la pieza 11 a la casilla 6 no tendremos ninguna dificultad. Pero después de hacer esto hay cierta probabilidad de que la pieza 13 se encuentre en la casilla 13 o en la 11 (o en la 5 pero con el hueco bajo la pieza 11), en cuyo caso habrá que bajar temporalmente la 11 para sacar la 13 de allí. Supongamos que la situación es como esta:
El círculo verde representa a la pieza 11, precolocada en la casilla 6, el rojo a la pieza 13 y el naranja al hueco. No se puede llevar la pieza 13 a la casilla 12 sin mover la 11. Podemos usar el circuito triangular 14-12-6-13-11-5-14 para llevar la pieza 13 (recordemos: círculo rojo) a la casilla 14 (fuera de la zona problemática) y después el otro circuito triangular 12-6-13-11-5-3-12 para devolver la pieza 11 a la casilla 6. Los movimientos serían:
14 5 11 13 6 12 5 3 12 6 13 11 5 3
Y ya podemos llevar la pieza 13 a su destino provisional (casilla 12) siguiendo el método general.
Un complicación similar puede darse con la pieza 6 (si después de bajar una posición las piezas 11 y 13 resulta estar, por mala suerte, en la casilla 11). Saldremos de esta situación de forma análoga a la que acabamos de explicar.
Esta fase es muy sencilla. Se trata de colocar las piezas 12 y 5 usando sendos circuitos triangulares a los que pertenecen sus casillas de destino. Estos circuitos triangulares son diferentes de los mencionados en el apartado anterior y no pasan por la línea vertical derecha en la que ya están colocadas las piezas 6, 13 y 11. Para colocar la pieza 12 usaremos el circuito 12-3-10-16-7-14-12 (o, si es necesario, la variante 12-3-10-1-7-14-12) y para colocar la pieza 5 usaremos el circuito 5-3-10-16-7-14-5 (o 5-3-10-1-7-14-5). Ambos están representados en la siguiente imagen con líneas discontinuas.
Obviamente, si al principio la pieza 12 está en la casilla 5 habrá que llevarla a la 3, metiéndola en el circuito que le corresponde. Y lo mismo si la pieza 5 está en la casilla 12 (habrá que llevarla a la casilla 14).
Para colocar las piezas 14 y 3 posiblemente tengamos que descolocar temporalmente las piezas 12 y 5. Usaremos los circuitos triangulares representados en la figura 62 para llevar la pieza en cuestión (14 o 3) a la casilla 1 (apartadero) y desde allí colocarla de forma relativa, a continuación de la 12 (si es la 14) o de la 5 (si es la 3).
Vamos a ejemplificarlo con un caso concreto. Hemos terminado la fase 3 con la siguiente posición.
Es una posición especialmente desfavorable, ya que la pieza 14 está cerca de la 5 y la 3 de la 12, justo al revés de lo que queremos. Usando el circuito triangular inferior (de lila en la figura 62) llevamos la pieza 3 a la casilla 1. Movemos las piezas 5, 14, 7, 1 y 3. Ahora la posición es:
Seguimos usando el mismo circuito triangular para colocar la pieza 3 detrás de la 5. Los movimientos necesarios son: 5, 14, 7, 1, 10, 5, 14, 7, 1, 10, 5, 14, 7, 1, 10, 5, y 3. Esta es la nueva posición:
Ponemos la pieza 7 en la casilla 1 y seguimos moviendo las piezas del circuito en el mismo sentido para colocar las piezas 5 y 3: 7, 1, 10, 5 y 3. Tendremos esta posición:
La pieza 14 la colocamos de la misma forma, pero usando el circuito triangular superior (de verde en la figura 62): la ponemos en el apartadero (casilla 1), la colocamos junto a la 12 y después ambas, 12 y 14, a sus posiciones finales. Los movimientos necesarios desde la posición de la imagen anterior son (piezas, no casillas): 14, 1, 7, 14, 1, 7, 10, 12, 3, 1, 7, 10, 14, 7, 1, 3, 12 y 14. El resultado se ve en la imagen siguiente.
La fase 5 y final es la más sencilla. A veces no habrá que hacer ningún moviento. Otras, como en el ejemplo que estamos mostrando, bastará mover las tres piezas que quedan sin colocar por el pequeño circuito triangular para ponerlas en sus casillas de destino. En el ejemplo moveremos: 7, 1 y 10.
Una vez sabemos resolver Cuadrojo... ¿sabemos resolver Manda 4×4? La respuesta depende de lo que entendamos por resolver Manda 4×4. Imaginemos que en una revista de rompecabezas matemáticos se nos plantea como reto decir los movimientos necesarios para resolver una determinada posición inicial de Manda 4×4. Podremos hacerlo a partir de la posición inicial equivalente de Cuadrojo. En el caso del programa Manhla, se puede resolver Manda 4×4 (allí llamado Manda 15) trasladando la posición inicial a Cuadrojo, anotando los movimientos hechos para su resolución y después ejecutándolos en Manda 15. (De hecho, Manhla nos ahorra la parte menos interesante del trabajo: desde la posición inicial de Manda 15 púlsese Ctrl-C [primero Control, después C], resuélvase Cuadrojo y después de volver a Manda 15 púlsese Insert.) Pero si lo que queremos es resolver Manda 15 manipulándolo directamente, saber resolver Cuadrojo nos ayuda, pero puede no ser suficiente.
Javier Santos ha desarrollado otro interesante método de resolución de Manda 4×4 que se puede consultar aquí mismo.
La versión 4×3 del Rompecabezas del mandarín es bastante compleja a pesar de su pequeño tamaño (o tal vez por culpa de eso). Este es su grafo sin ninguna modificación:
Basta intercambiar las posiciones de los nodos 1 y 9; 3 y 11; 5 y 7; y 6 y 8 para obtener esta otra versión sin ningún cruce:
Si no está convencido de que ambos grafos son en realidad el mismo, vea esta animación:
Este grafo transformado se parece bastante al de un juego del quince convencional con un tablero 4×3, salvo que se han eliminado las conexiones centrales de la línea intermedia. El programa Manhla incluye un juego con esas características llamado «4×3 con paredes - 1»:
Las paredes impiden los movimientos horizontales a lo largo de la segunda fila. Este juego es a Manda 4×3 lo que Cuadrojo es a Manda 4×4. Veremos un método de resolución de 4×3 con paredes - 1, sabiendo que los movimientos son los mismos que para resolver Manda 4×3. En ese caso usaremos una numeración distinta (la que se ve en la figura 70), así que para trasladar los movimientos habrá que hacer la siguiente correspondencia:
1 → 9
3 → 11
5 → 7
6 → 8
7 → 5
8 → 6
9 → 1
11 → 3
Usaremos los siguientes circuitos.
Cada circuito se representa con una sola flecha en lugar de muchas flechas pequeñas encadenadas. Por ejemplo, el circuito i incluye las conexiones 10-9, 9-5, 5-1, 1-2, 2-6 y 6-10.
Como ya se ha dicho, la numeración de «4×3 con paredes - 1» es diferente de la de Manda 4×3, así que las piezas 1, 5 y 9 no son las 1, 5 y 9 de Manda 4×3: como se puede ver en la lista de correspondencias, son (en el mismo orden) las 9, 7 y 1. No volveré a insistir de momento en este punto.
Las piezas de la primera columna se pueden colocar con bastante facilidad y se puede aprender a hacer sin seguir instrucciones, aunque de todas formas vamos a darlas. Empezaremos con esta posición:
Empezaremos llevando la pieza 5 a la casilla 6, algo que siempre será muy sencillo. Quien tenga experiencia con el Juego del 15 clásico no tendrá ninguna dificultad en esto. Una posibilidad sería usar uno de los circuitos mencionados anteriormente que pase por la segunda columna y por la casilla actualmente ocupada por la pieza 5. Para la posición inicial del ejemplo sería el circuito i. Obviamente, antes hay que llevar a él el hueco.
El segundo paso será llevar la pieza 9 a la casilla 1, sin mover la 5. Tampoco debe haber problemas para hacerlo. Se puede usar un circuito que pase por la casilla 1 y la ocupada por la pieza 9 y que no pase por la casilla 6. En nuestro caso el circuito I cumple esas condiciones.
El siguiente paso es, si no lo está ya, llevar el hueco a la casilla 2. Seguimos usando el mismo circuito.
Ahora usaremos el circuito i para trasladar las piezas 9 y 5 a la columna izquierda, aunque aún no en sus posiciones finales.
Ahora hay que llevar la pieza 1 a la casilla 2. A no ser que tengamos la mala suerte de que esté debajo de la 9 (caso que veremos después), este paso es tan fácil como el primero. Podemos usar un circuito que pase por la segunda columna y la posición actual de la pieza 1, en el ejemplo el D. (En la práctica no nos limitaremos solo a ese circuito.)
Para terminar usaremos el circuito I para colocar las tres piezas en sus posiciones definitivas.
La siguiente animación muestra todos los movimientos hechos hasta ahora.
Antes pasamos de largo sobre el único caso excepcional de esta fase, que se produce cuando tras precolocar las piezas 5 y 9 se encuentra bajo ellas la 1. Podemos usar el circuito i para llevar la pieza 1 a la casilla 6, usar el circuito I para volver a subir las piezas 5 y 9 y nos encontraremos con una situación en la que las piezas 5 y 9 vuelven a estar precolocadas y la 1 está en la segunda columna. La siguiente animación muestra este método.
De todas formas, con un poco de práctica normalmente es fácil eludir este caso, evitando que la pieza 1 llegue a quedar debajo de la 5.
La segunda fase es muy parecida a la primera e igual de sencilla. Se trata de colocar las piezas de la columna derecha, contando de momento la 11 entre ellas. Partimos de la posición de la figura 80. Empezaremos llevando la pieza 8 a la casilla 7, algo que podemos hacer sin dificultad.
Después situaremos la 11 en la casilla 4.
A continuación, si no lo está ya, llevamos el hueco a la casilla 3.
Ahora usamos el circuito d para precolocar las piezas 8 y 11 en la columna derecha.
El siguiente paso es llevar la pieza 4 junto a la 8. En nuestro ejemplo solo hace falta un movimiento, así que nos saltaremos la imagen. Y ya solo queda colocar las tres piezas (la 11 en realidad en la casilla 12) usando el circuito D.
La animación muestra todo el proceso, evitando esta vez el ir y venir de la pieza (en este caso) 11.
Como sucedía por el lado izquierdo, también en este caso podría suceder que la pieza 4 estuviera en su columna de destino (en la casilla 12) en la posición correspondiente a la figura 84. La forma de sacarla de ahí es muy similar y la mostramos con otra animación.
La tercera y última fase es la única que presenta dificultad. Para resolverla vamos a recurrir a una herramienta típica de los rompecabezas de movimientos sucesivos. Se trata de una secuencia predeterminada de movimientos cuyo efecto ya tenemos estudidado y que vamos a aplicar según nos interese. Estas secuencias «precocinadas» se han llamado de diferentes formas, como operadores, macros, algoritmos o simplemente secuencias. Entre the aficionados del mundo del Cubo de Rubik ha triunfado (en mi opinión desafortunadamente) la de algoritmo. El programa Manhla prefiere la más informática de macro y permite definir para un juego dado hasta doce de ellas con sus correspondientes inversas. «4×3 con paredes - 1» incluye ocho macros, aunque solo usaremos la última, la número 8, y su inversa.
La macro número 8 solo afecta a tres piezas, las colocadas en las casillas 6, 7 y 10. Para ejecutarla es necesario que el hueco esté en la casilla 12. Los 54 movimientos que la componen son los siguientes (los números corresponden a las casillas, no a las piezas):
11 10 6 2 3 7 11 12 8 4 3 2 6 10 11 7 3 2 6 10 11 7 3 4 8 12 11 10 6 2 3 7 11 12 8 4 3 7 11 10 6 2 3 4 8 12 11 10 6 2 3 7 11 12
El efecto de realizar esta larga lista de movimientos es llevar la pieza que ocupaba la casilla 6 a la casilla 7, la que ocupaba la casilla 7 a la casilla 10 y la que ocupaba la casilla 10 a la casilla 6. Es un efecto similar al del movimiento especial 1 → 4 de Hexadecágono con salto-2. Lo ilustramos con la siguiente imagen.
Podemos conseguir el efecto contrario (6 → 10 → 7 → 6) ejecutando la macro inversa:
11 7 3 2 6 10 11 12 8 4 3 2 6 10 11 7 3 4 8 12 11 7 3 2 6 10 11 12 8 4 3 7 11 10 6 2 3 7 11 10 6 2 3 4 8 12 11 7 3 2 6 10 11 12
Usando Manhla no es necesario hacer todos estos movimientos de uno en uno. Basta pulsar la tecla de función F8 para la primera versión y Ctrl-F8 (primero Control y después F8) para la segunda. En las explicaciones siguientes usaremos esta misma notación (F8 para la macro 8 y Ctrl-F8 para su inversa).
Recordemos que tenemos colocadas las piezas 1, 5, 9, 4, 8 y 11 (esta última en la casilla 12) y nos faltan las 2, 3, 6, 7 y 10. Para empezar esta fase haremos circular estas piezas por el circuito central c hasta colocar la pieza 2 en su casilla de destino. Nuestro objetivo inmediato es colocar la pieza 3 a su derecha. Si no tenemos la suerte de que ya esté ahí por casualidad, usaremos la macro 8 o su inversa después de hacer algún ajuste previo. Veamos los tres casos posibles.
Lo ilustramos con este ejemplo concreto:
En este caso el ajuste consiste en los movimientos (casillas, no piezas) 7, 3, 4, 8 y 12. Tendremos esta posición:
Ejecutamos F8 y la pieza 6 irá a su derecha, donde estaba la 7:
Ahora basta deshacer el ajuste previo para llevar la pieza 3 a su destino. Los movimientos son (recordemos: casillas, no piezas): 8, 4, 3, 7 y 11.
La posición de partida podría ser esta:
Esta vez el ajuste consiste en los movimientos correspondientes a las casillas 7, 3, 2, 6, 10, 11 y 12. La nueva posición es:
Ejecutamos Ctrl-F8 y la pieza 6 se pondrá debajo de la 2, donde estaba la 10:
Tras deshacer el ajuste, esta vez tendremos el rompecabezas prácticamente resuelto. Los movimientos necesarios son: 11, 10, 6, 2, 3, 7 y 11:
Nuestro ejemplo para este caso es:
Los movimientos de ajuste se desarrollan (salvo el último) a lo largo del circuito central c: 7, 3, 2, 6, 10, 11 y 12. Tras ellos tenemos esta posición:
Hay que aplicar la macro F8. El resultado es:
Deshacemos los movimientos del ajuste (movimientos: 11, 10, 6, 2, 3, 7 y 11) y tendremos esta posición, con tanto la pieza 2 como la 3 colocadas:
Una vez colocadas las piezas 2 y 3, hay tres posibilidaddes para las que quedan (nos fijaremos en la pieza 6):
En el primer caso solo falta colocar la pieza 11 con un solo movimiento. En el segundo, moveremos también la pieza 11 para ejecutar Ctrl-F8 y después de esto estará el juego resuelto. El tercer caso es como el segundo pero usando F8.
Podemos resolver cualquier posición inicial de «Manda 4×3» traduciéndola a la equivalente de «4×3 con paredes - 1» y después adaptando la solución según la correspondencia de piezas que se vio al principio de esta sección. El programa Manhla hace este trabajo por nosotros: desde la posición inicial de «Manda 12» (nombre que allí recibe «Manda 4×3») púlsese Ctrl-A (primero Control, después A), resuélvase «4×3 con paredes - 1» y después de volver a «Manda 12» púlsese Insert.
Como «Manda 4×3» está contenido en «Manda 4×4» podemos resolver este segundo colocando las piezas de la fila superior y después resolviendo la parte inferior sin volver a tocar las piezas 1, 2, 3 y 4, como si fuera «Manda 4×3». Colocar las cuatro primeras piezas no es excesivamente difícil, pero tampoco muy fácil. Con Manhla se puede resolver «Manda 15» de esta forma con el apoyo de «4×3 con paredes - 1». Tras colocar las piezas 1-4 se debe pulsar Ctrl-A y después de resolver «4×3 con paredes - 1» volver a «Manda 15» y pulsar Insert para cargar el resto de movimientos.
El tablero cuadrado más pequeño sobre el que tiene sentido plantear un juego tipo Manda es el 3×3. Y aún así se trata de uno poco interesante, puesto que el correspondiente grafo, con forma de estrella, una vez desenredado no es más que un octógono, quedando la casilla central completamente desconectada:
Podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Es posible mover la casilla 5 de modo que el juego se haga más interesante? Y la respuesta es que sí. La siguiente imagen muestra todos los puntos, dentro de una retícula cuadrada, donde podría llevarse la posición 5. Se trata de que tenga dos conexiones.
Hay doce puntos, pero solo tres esencialmente distintos, etiquetados en la imagen como A, B y C. Los puntos A y C producen grafos similares, con lo que tenemos solo dos nuevos grafos:
He añadido a Manhla juegos basados en estas ideas con los nombres de «Minimanda 1», «Minimanda 2» y «Minimanda 3». El primero se corresponde con el grafo de la figura 103 y los otros dos con el de la 102.
Volviendo a Manda 3×3, cuyo grafo (sin transformar) vemos en la figura 99, podemos hacernos una segunda pregunta: ¿Es posible, sin mover la casilla central, añadir algunas otras casillas para que el juego se vuelva interesante? Consideremos las casillas que están conectadas con la central y otra casilla. Hay ocho candidatas que se ven como puntos en la siguiente imagen.
Hay que añadir al menos dos de estas casillas para que la central no se convierta en un «callejón sin salida» (cualquier juego de este tipo tiene que tener al menos dos conexiones en cada nodo). Reorganizando el grafo queda de la siguiente forma:
Considerando iguales las versiones simétricas, resultan los 19 grafos de la siguiente imagen. Bajo cada uno aparece el número de nodos y una letra si hay varios con el mismo número.
El juego que le corresponde al grafo 11a tiene un problema similar a Manda 3×3: es imposible desordenar de verdad las piezas. Esto sucede cuando hay «cuellos de botella» como, en este caso, el nodo de la esquina superior izquierda. Hay dos circuitos circulares, por cada uno de los cuales pueden circular sus propias piezas, pero es imposible que las piezas de un circuito pasen al otro. De manera que, eliminando este grafo nos quedan 18 Minimandas que sí parecen prometedores, aunque su análisis lo dejaremos para otra ocasión. Nos limitaremos a mostrar dos de ellos.
