El método de resolución que voy a explicar está basado en uno previo de Javier Santos. La idea clave es clasificar las piezas por tipos de acuerdo con su posición final e ir colocándolas por orden según estos tipos, un poco al modo de muchos métodos de resolución del Cubo de Rubik. Para mayor claridad usaremos una versión con las piezas coloreadas según su tipo:
Hay cuatro tipos, aunque dos de ellos se colocarán de forma combinada:
Las casillas se clasifican de la misma forma, de acuerdo con la pieza que le corresponde a cada una en la posición final. La casilla 25 es de tipo 4.
Observemos que las piezas y casillas de tipo 4 están conectadas entre ellas formando un subgrafo equivalente a un Juego del 15 3×3:
Antes de aprender a resolver Manda se debería dominar la resolución del Juego del 15 3×3 (muy fácil, desde luego).
Previamente a la exposición del método vamos a analizar las conexiones entre el subgrafo 3×3 y los otros tipos de casillas. Se muestran todas ellas en la siguiente imagen.
Todas las casillas de tipo 1 están conectadas con una (y solo una) casilla de tipo 4 (líneas rojas en la figura 16). Todas las casillas de tipo 2 están conectadas con la casilla central (líneas azules), que es de tipo 4 (no están conectadas con ninguna otra casilla de tipo 4). Todas las casillas de tipo 3 están conectadas con una (y solo una) casilla del tipo 4 (líneas rosas).
En esta primera fase vamos a colocar todas las piezas de tipo 1, de una en una, sin importar el orden. Para colocar una pieza no hará falta tocar ninguna pieza situada en una casilla de tipo 1, de forma que una vez colocada una pieza ya no hará falta moverla.
El procedimiento para colocar una pieza no es complicado, pero detallar todos los pasos resulta prolijo. En la mayoría de casos habrá pasos que nos podremos saltar. Teniendo en cuenta solo a la pieza que queremos colocar (que llamaré «la pieza», a veces incluyendo las comillas si puede haber ambigüedad), los tres pasos básicos son los siguientes:
Vamos a ir explicando todos los pasos (y los subpasos necesarios) con un ejemplo. Partiremos de la siguiente posición inicial:
Recordemos que las piezas que queremos colocar en esta fase son las que aparecen con fondo rojo: 6, 7, 8, 12, 14, 18, 19 y 20. Por casualidad, las piezas 19 y 20 ocupan ya casillas de tipo 4, es decir, están dentro del subgrafo 3×3. Lo lógico sería empezar por una de ellas, ahorrándonos el primer paso. Pero como lo que queremos es mostrar el proceso completo elegiremos otra, por ejemplo la 8 (que hay que trasladar justamente a su derecha).
Como hemos visto antes, todas las casillas están conectadas (además de forma única) con el subgrafo 3×3 (véase la figura 16). En particular, si el hueco no está ya en una casilla de tipo 4, está conectado con una casilla de tipo 4. En el caso de la posición inicial propuesta, el hueco está en la casilla 9 (de tipo 2), conectada con la casilla central, la 13. Así que moviendo la pieza que ocupa esta casilla (la 4) ya tenemos el hueco dentro del subgrafo 3×3.
Con el hueco en el subgrafo 3×3 podemos moverlo por él hasta llevarlo a la única casilla de tipo 4 conectada con la que ocupa «la pieza» (la número 8 en nuestro caso). Esta única casilla es la 1 y bastan dos movimientos (piezas 15 y 17).
Ya solo queda mover «la pieza» para meterla en el subgrafo 3×3 y
completar este primer paso.
Recapitulemos los tres subpasos que hemos dado:
Y solo hemos tocado casillas de tipo 4 y la que ocupaba la pieza que queremos colocar.
Antes dijimos que el paso 2 era llevar «la pieza» a la casilla del subgrafo 3×3 conectada con la casilla de destino, pero para poder hacer eso antes hay que devolver el hueco al subgrafo 3×3. Así que este va a ser en realidad el paso 2. Lo vamos a hacer siguiendo estas indicaciones:
Como la casilla conectada con el hueco (la 1) está ocupada por «la pieza» (la 8) hacemos los movimientos indicados en 2 y 3. Hay dos piezas en casillas de tipo 3 conectadas con el hueco: las piezas 10 y 6. Movemos la 10.
Ahora solo hay una pieza en una casilla de tipo 4 que se puede mover: la 1. Y ya tenemos el hueco en el subgrafo 3×3.
La casilla del subgrafo 3×3 conectada con la de destino es la 21,
ocupada por la pieza 2. Ya está todo listo para llevar la pieza 8 allí. Se
puede hacer de varias formas, por ejemplo moviendo las piezas: 15, 17, 8, 20,
17, 8, 19, 15, 13, 2 y 8. Queda la siguiente posición
El siguiente paso sería llevar la pieza a su casilla final, pero antes es necesario dejarlo libre, o dicho de otra forma, llevar el hueco a dicha casilla. Lo haremos siguiendo estas instrucciones:
Siguiendo con nuestro ejemplo, como el hueco ya está en el centro, pasamos al punto 2. Nuestra pieza es la 8 y según la correspondencia dada debemos mover la casilla número 2, actualmente ocupada por la pieza 12. Lo hacemos.
En algunos casos (cuando la pieza se de tipo 1-lado, esto es, 7, 12, 14 o 19) habrá que hacer un movimiento adicional de una pieza ocupando una casilla de tipo 3. En nuestro ejemplo, ya es posible desocupar la casilla de destino moviendo la pieza 16.
En esta fase solo hemos tocado casillas de tipos 2, 3 y 4.
Esta fase es muy simple: solo hay que mover «la pieza», en nuestro ejemplo la número 8. Hemos colocado nuestra primera pieza de tipo 1 (obsérvese en la imagen que el caballo se ha puesto verde).
Unamos todas las fases y subfases en un solo esquema:
Todo junto parece muy largo, pero en la práctica es relativamente simple. Vamos a colocar una segunda pieza de nuestro ejemplo, sobre todo para incidir en el punto 1.4. Colocaremos en segundo lugar la pieza 19.
Como tanto la pieza como el hueco están ya en casillas de tipo 4 podemos pasar directamente a la fase 1.3. La pieza 19 va justo debajo del centro, en el lugar ahora ocupado por la 14. Después de varios movimientos dentro del subgrafo 3×3 (piezas 12, 19, 15, 13, 2, 12, 19, 2 y 19) la colocamos a un movimiento de su destino, en la casilla 25.
De acuerdo con las instrucciones dadas (pasos 4 y 5) hemos
de mover las piezas 2, 16, 1, 14 y 19.
Los pasos 4.2, 4.3 y 4.4 se pueden ilustrar con las siguientes imágenes. La primera indica los movimientos para llevar el hueco a las casillas 6, 8, 18 y 20 (las esquinas del cuadrado formado por las casillas de tipo 1).
La segunda indica los movimientos para llevar el hueco a las casillas 7, 12, 14 y 19 (los lados del cuadrado).
Hay otras formas de hacer la fase 1.4; se ha elegido una en parte coincidente para todas las piezas de tipo 1 y fácil de aplicar de forma automática. Pero, por ejemplo, a partir de la posición de la figura 26 podríamos haber llevado la pieza 19 a la casilla 25 moviendo las piezas 12, 19, 15, 13, 19, 12, 2 y 19, dejando libre la casilla 22 en vez de la 21.
Además de habernos ahorrado un movimiento ahora tenemos la opción de despejar la casilla de destino más rápidamente, moviendo las piezas 1 y 14.
Después de haber colocado la pieza 19 y las demás de tipo 1 tendremos una posición como la de la siguiente imagen. (Casualmente hay algunas otras piezas bien colocadas, además de las de tipo 1.)
Las piezas de tipo 2 (azul oscuro) y 3 (azul claro) se colocan por parejas: una de tipo 2 junto a una de tipo 3. Cada pieza de tipo 2 forma pareja con la única de tipo 3 con la que, en la posición final, está conectada. Por ejemplo, la casilla 2 (de tipo 2) está conectada con la casilla 11 (de tipo 3), así que una de las parejas la forman las piezas 2 y 11. Las otras son 9-3, 24-15 y 17-23.
Cada pareja se coloca de forma independiente y en cualquier orden. En el proceso no vamos a tocar casillas donde haya piezas ya colocadas. Fijémonos en la siguiente imagen.
Se aprecian cuatro subgrafos con forma de rombos, construidos a partir de las conexiones mostradas en la figura 33. Los cuatro rombos comparten un vértice en la casilla central, siendo todos los demás distintos. Consideremos, por ejemplo, el subgrafo-rombo izquierdo (2-11-22-13). Además de las casillas de la pareja 2-11 tenemos dos casillas de tipo 4: la central y otra (la 22 en este caso) a la que llamaremos ancla. Lo mismo sucede con los otros tres rombos. Dejando aparte las de tipo 1, que ya no vamos a tocar más, todas las casillas pertenecen a un subgrafo-rombo o al subgrafo 3×3 (o ambas cosas). En particular, la casilla central pertenece a todos estos subgrafos.
La idea de nuestro método para colocar cada pareja es:
Vamos a ejemplificarlo colocando la pareja 2-11 correspondiente al subgrafo-rombo izquierdo. Partiremos de la siguiente posición, con las piezas de tipo 1 ya colocadas.
La pieza de tipo 3 es la 11. Si (como en nuestro ejemplo) no está en el
subgrafo 3×3 estará en un subgrafo-rombo. En el primer caso habrá que
llevar el hueco también al subgrafo 3×3. En el segundo habrá que
llevarlo concretamente al centro. En el ejemplo, la pieza 11 está en el
subgrafo-rombo superior. Llevamos el hueco al subgrafo 3×3 con un
movimiento (pieza 16) y de ahí al centro con otro (pieza 13).
Usando el subgrafo-rombo superior llevamos la pieza 11 al centro: movemos las piezas 1, 11, 2, 1 y 11.
Moviéndonos por el subgrafo 3×3 llevamos el hueco al ancla del subgrafo-rombo izquierdo: movemos 23 y 15.
Usando el subgrafo-rombo izquierdo llevamos la pieza 11 a la casilla 2 (posición final de la pieza 2): 9, 24 y 11.
La pieza 2 está también en el subgrafo-rombo superior. La llevamos al centro igual que antes la 11. Si no estuviera ahí usaríamos otro subgrafo-rombo o el subgrafo 3×3. Movemos las piezas 23, 2, 1, 23 y 2.
Llevamos el hueco al ancla del subgrafo-rombo izquierdo: 15 y 9.
Usando el subgrafo-rombo izquierdo colocamos ambas piezas, 2 y 11: 24, 11 y 2.
Estos son todos los pasos reunidos en un solo esquema:
En ocasiones, siguiendo las instrucciones anteriores tocaremos casillas de tipos 2 o 3. En esos casos dichas casillas corresponderán a parejas aún no colocadas.
Se puede producir el siguiente caso especial. Supongamos que al ir a colocar la pareja 2-11 la pieza 2 ya está en su casilla de destino.
Si seguimos las instrucciones al pie de la letra para colocar la pieza de tipo 3 (la número 11) en la casilla de la pieza de tipo 2 (la casilla 2) moveremos las piezas 1, 22, 11, 24, 22, 11, 15, 3, 17, 2, 11 y tendremos la siguiente posición.
Nos encontramos con la pareja de piezas colocadas al revés, cada una en la posición final de la otra, una situación para la que no vale el resto de instrucciones. Para este caso (cuando la pieza de tipo 2 ya está en su posición final) conviene usar estas instrucciones alternativas.
Siguiendo estas instrucciones alternativas, desde la posición de la figura 43 podemos mover las piezas 1, 3, 17, 2, 3, 24, 11, 22, 24, 11, 22, 24, 15, 17, 11, 3, 2 y 11 para colocar la pareja 2-11.
Una vez colocadas las cuatro parejas tendremos una posición como la de la siguiente imagen.
Todas las piezas de tipos 1, 2 y 3 están en sus casillas de destino y solo quedan por colocar las de tipo 4. En otras palabras, nos queda por resolver el subgrafo 3×3, que es lo mismo que resolver un Juego del 15 (o más bien, Juego del 8) de dimensiones 3×3. No se va a explicar aquí cómo hacerlo, ya que, como dijimos, lo consideramos requisito previo. Daremos, por tanto, por terminada la explicación de nuestro método con una imagen del juego resuelto.
Enlazando con la introducción y a modo de trofeos de caza, incluyo como epílogo de esta exposición sendos vídeos de la resolución del juego original, en su variante aleatoria, tanto en su modo con piezas numéricas como en la llamada «mosaico». He de advertir que, aunque se colocan las piezas en el orden de las tres fases, dentro de cada una no se siguen al pie de la letra los pasos indicados. (La parte central de cada vídeo está acelerada.)
El rompecabezas del mandarín incluye un reto no aleatorio cuya posición inicial se muestra en la siguiente imagen.
Desconozco la razón que hay detrás de la elección de esta posición inicial. Como se ve, las piezas de tipo 4 están todas dentro de su subgrafo y las demás están bien colocadas a excepción de la 11, que está en la casilla 2, la 2, que está en la casilla 19 y la 19 que está en la casilla 11. Una estrategia lógica parece colocar bien estas tres piezas y después resolver el subgrafo 3×3. Los diez movimientos (se indican los números de las piezas movidas) 2, 19, 10, 2, 1, 4, 2, 10, 11 y 2 consiguen colocar las tres piezas indicadas sin casi afectar a las demás.
Ya lo que queda es fácil. Con una pequeña ayuda podemos asegurarnos de que no hacemos más movimientos de los necesarios, llegando a la posición final con otros 24 movimientos: 10, 1, 4, 21, 13, 10, 1, 4, 21, 13, 10, 1, 4, 5, 22, 16, 1, 4, 5, 22, 16, 5, 13 y 21. No repetiremos la imagen del juego resuelto (figura 46).
Si lo interpreté correctamente, según el texto que incluye el juego (que traduje con ayuda de Google Translate), existe una solución más corta (32 movimientos) sin tocar ninguna pieza ya colocada, y otra aún más corta (30 movimientos) sacando temporalmente de su casilla final alguna pieza ya colocada. Se agradecerá cualquier colaboración para encontrar estas soluciones.