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Series numéricas

Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series, aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en las matemáticas recreativas. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesión de números enteros de la que nos dan los primeros términos. Si te gustan este tipo de acertijos te recomiendo la página de Marcia Levitus, que posee una estupenda sección sobre series. También te interesará la Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros, mantenida por N. J. A. Sloane, de AT&T Research. En este sitio podemos introducir varios términos consecutivos para buscar qué secuencias los contienen. En el momento de escribir esto (marzo de 2004) hay allí más de 92.000 secuencias.

El índice de un término de la secuencia es el número de orden que ocupa. Normalmente se empieza a contar desde el 1, aunque a veces se empieza por el 0. Si la sucesión se llama s, el término de índice n se escribe s(n) o sn. Hay varias formas de definir una secuencia:

Aquí hay unas cuantas series para que intentes adivinar cómo continúan y cómo se han construido. Puedes poner un número o varios separados por comas y pulsar el botón «Comprobar» para ver si vas por buen camino. El botón «Más términos» muestra algunos términos adicionales. En algunos casos se puede también conocer un término de índice arbitrario o comprobar si un número cualquiera pertenece a la serie. Para unas pocas series también he preparado pistas. Para que todo esto funcione tienes que tener habilitado JavaScript en tu navegador.

  1. 1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65,...
  2. 1, 4, 9, 61, 52, 63, 94...
  3. 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10 13, 16, 17,...
  4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 17, 20,...
  5. 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25,...
  6. 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211,...
  7. 1, 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49,...
  8. 1, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 10, 11, 13, 8,...
  9. 1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345,...
  10. 3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9,...
  11. 31, 41, 59, 53, 89, 79,...
  12. 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4,...
  13. 1, 0, 5, 4, 14, 40, 16, 17,...
  14. 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1,...
  15. 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 0,...
  16. 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101,...
  17. 0, 1, 11, 101, 111, 181, 1001,...
  18. 1, 2, 3, 5, 10, 19, 20, 30, 1000...
  19. 6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7,...
  20. 1, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 5,...
  21. 20, 1, 18, 4, 13, 6, 10,...
  22. 0, 32, 15, 19, 4, 21, 2, 25, 17,...
  23. 1, 5, 6, 9, 12, 14, 18, 19, 23, 26, 27,...

1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65,...

Explicación  Lista

1, 1, 2, 4, 7, 11, 18, 36, 65,...

Explicación:
Los dos primeros términos son arbitrarios (el segundo impar). A partir del tercero, si el término anterior es impar, se obtiene sumando los dos términos anteriores; si es par, sumando los tres términos anteriores.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A078513), pero con un 0 al principio.
  • Es una mezcla de la famosa sucesión de Fibonacci (A000045) con la variante Tribonacci (A000073).
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1, 4, 9, 61, 52, 63, 94...

Explicación  Lista

1, 4, 9, 61, 52, 63, 94...

Explicación:
Son los cuadrados perfectos, pero escritos al revés. 100 al revés es 001, o sea, 1.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A002942).
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1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17,...

Explicación  Lista

1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17,...

Explicación:
Son las sumas de dos cuadrados perfectos, incluyendo el 0 como cuadrado perfecto, pero no en ambos sumandos. También son las áreas de los cuadrados dibujados en una hoja cuadriculada, en orden creciente (la unidad es el cuadro).
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A001481), pero incluyendo el 0 al principio.
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 17, 20,...

Explicación  Lista

2, 3, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 17, 20, 30, 31

Explicación:
Son los números que leídos al revés son primos.
Comentarios:
  • Exactamente esta serie no aparece en la Enciclopedia de Secuencias, pero sí otras parecidas. La A004087 es la secuencia de los primos escritos al revés y, a excepción de los números terminados en 0, contiene los mismos términos, pero ordenados de otra forma. La A007500 está formada por los números que son primos tanto al derecho como al revés. La A003459 contiene los primos absolutos, es decir, los primos que siguen siendo primos después de cualquier reordenación de sus cifras.
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4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25,...

Explicación  Lista

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25,...

Explicación:
Son los números secondos (así bautizados por Jaime Poniachik; también son llamados biprimos o semiprimos), es decir, los que son productos de dos primos.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A001358). También aparecen las secuencias de los números que son productos de tres (A014612), cuatro (A014613) y cinco (A014614) primos.
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1, 11, 21, 1211, 111221, 312211...

Explicación  Lista

1, 11, 21, 1211, 111221,...

Explicación:
Cada término describe el anterior:
  • 1 contiene un uno, o sea, 11.
  • 11 contiene dos unos, o sea, 21.
  • 21 contiene un dos y un uno, o sea, 1211.
  • 1211 contiene un uno, un dos y dos unos, o sea, 111221.
  • 111221 contiene tres unos, dos doses y un uno, o sea, 312211.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A005150).
  • Esta serie es conocida en inglés como «Look and Say Sequence».
  • En todos los términos no aparecen otras cifras aparte de 1, 2 y 3 (¿por qué?).
  • Hay una semilla que produce una secuencia constante (encuéntrala).
  • J. H. Conway demostró que, a excepción de la secuencia constante, en todas las demás se cumple que la razón entre las longitudes (número de cifras) de dos términos contiguos (es decir longitud de a(n+1) / longitud de a(n)) tiende a una constante (constante de Conway, de valor 1,303577269,...).
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1, 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49,...

Explicación  Lista

1, 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49,...

Explicación:
El primer término es arbitrario (semilla). A partir del segundo, cada uno es la suma de todas las cifras de los términos anteriores.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A004207).
  • A partir del tercer término (incluido) cada uno se obtiene añadiendo al anterior la suma de sus cifras.
  • Si se cambia la semilla obtienen secuencias diferentes, aunque distintas semillas pueden generar secuencias coincidentes a partir de determinado término. Por ejemplo, si ponemos 5 como semilla, la secuencia es distinta a la de semilla 1 hasta el término 54º, cuyo valor (620) es el mismo que el término 59º de la secuencia de semilla 1. A partir de ahí, ambas secuencias son iguales.
  • ¿Serán todas las secuencias iguales a partir de un determinado punto (tal vez muy lejano)? ¿Podrá demostrarse lo contrario?
  • El término número 596 (semilla 1) es 10.000.
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2, 3, 5, 7, 11, 13, 14, 16, 17, 20,...

Explicación  Lista

1, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 10, 11, 13, 8,...

Explicación:
El primer término es arbitrario (semilla). A partir del segundo, cada uno es la suma de las cifras de la suma de los términos anteriores. Dicho de otra forma, esta serie corresponde a las sumas de las cifras de la serie anterior.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A065075).
  • Si la sucesión anterior es a y esta b, se cumple:
       bn = suma de las cifras de an.
       an = an-1 + bn-1.
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1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345,...

Explicación  Lista

1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345,...

Explicación:
El primer término es arbitrario (semilla). A partir del segundo, cada uno es el resultado de reordenar las cifras de la suma del término anterior con su «inverso». Por ejemplo, para obtener el término siguiente a 145 se hace lo siguiente: 145 + 541 = 686 ==> 668.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (004000).
  • Esta secuencia es conocida en inglés como RATS (Reverse Add Then Sort). Creo que fue inventada por John H. Conway.
  • Se piensa que cualquiera que sea la semilla se termina en la misma secuencia, o bien en un ciclo finito. Se producen ciclos finitos, por ejemplo, con 3 y 9 como semillas.
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3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9,...

Explicación  Lista

3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, 5, 2, 9,...

Explicación:
Son los dígitos de los números pi y e, alternados.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A001355).
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31, 41, 59, 53, 89, 79,...

Explicación  Lista

31, 41, 59, 53, 89, 79,...

Explicación:
Son las subcadenas de dos dígitos (sin solapamientos) del desarrollo decimal del número pi que forman números primos. La coma decimal se ignora. El término 2 corresponde a la subcadena 02: 31415926535897932384626433832795028841...
Comentarios:
  • No aparece en la Enciclopedia de Secuencias. A007523 y A005042 tienen algún parecido.
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3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4,...

Explicación  Lista

3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 5, 4,...

Explicación:
Son las longitudes, en letras, de los nombres de los números: uno (tres letras), dos (tres letras), tres (cuatro letras), etc.
Comentarios:
  • Aparecen en la Enciclopedia de Secuencias versiones en muchos idiomas: danés (A003078), inglés (A005589 y otras versiones), ruso (A006994), español (A011762), gallego (A053306), esperanto (A057853), sueco (A059124)...
  • Evidentemente, esta serie depende de la lengua usada. También depende de que la ch de ocho se considere una letra o dos.
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1, 0, 5, 4, 14, 40, 16, 17,...

Explicación  Lista

1, 0, 5, 4, 14, 40, 16, 17,...

Explicación:
Son los primeros números cuyos nombres tienen 3, 4, 5,... letras. En este caso también he tenido en cuenta al 0.
Comentarios:
  • En la Enciclopedia de Secuencias aparecen dos versiones inglesas (A001166 y A080777).
  • ¿Hasta dónde llega esta serie?
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1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1,...

Explicación  Lista

1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1,...

Explicación:
Son las longitudes (número de letras) de los números romanos: I (1), II (2), III (3), IV (2), etc.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A006968).
  • Sólo los números entre 1 y 3999 se pueden escribir usando exclusivamente letras.
  • No siempre los romanos escribieron IV por 4 (sino IIII) o XL por 40 (sino XXXX). La serie correspondiente a esta variante es la A092196.
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1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 0,...

Explicación  Lista

1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 0,...

Explicación:
Es la cantidad de agujeros de cada número, empezando por el 0. El 0 tiene un agujero, el 1 no tiene agujeros, el 8 tiene dos,... El 4 se supone abierto, sin agujeros.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A064532).
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0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101,...

Explicación  Lista

0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, 101,...

Explicación:
Son los números que no cambian cuando se giran 180 grados. Se supone que el 1 es un palito recto, y el 9 como un 6 girado.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (000787), donde reciben el nombre de números estrobogramáticos.
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0, 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181,...

Explicación  Lista

0, 1, 8, 11, 88, 101, 111, 181,...

Explicación:
Son los números «a prueba de espejos», es decir, que no cambian cuando se ven reflejados en un espejo.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A006072). A068188 contiene sólo los que, además, son primos.
  • Tienen que ser capicúas y contener sólo las cifras 0, 1 (que se supone escrito con un palito vertical) y 8. No se tienen en cuenta ceros al principio.
  • También incluye a los números estrobogramáticos (serie anterior).
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1, 2, 3, 5, 10, 19, 20, 30, 1000...

Explicación  Lista

1, 2, 3, 5, 10, 19, 20, 30, 1000...

Explicación:
Son los números «a prueba de espejos» al escribirlos con numerales romanos.
Comentarios:
  • No aparece en la Enciclopedia de Secuencias, pero sí la de los romanos capicúas (A078715).
  • Independientemente de lo que realmente hicieran los romanos, a efectos de esta serie se siguen la convenciones de no usar más de tres letras seguidas (IV, y no IIII) y de poner una rayita encima para multiplicar por mil (a partir de 4000; por ejemplo, 5000 es una V con una rayita horizontal encima).
  • A no ser que se den reglas adicionales, no puede seguir la serie más allá de 30.000.
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6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7,...

Explicación  Lista

6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7,...

Explicación:
Es el número de segmentos con que aparece el número (empezando por el 0) en la pantalla de una calculadora electrónica.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A006942).
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1, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 5,...

Explicación  Lista

1, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 5,...

Explicación:
Es el número de segmentos rectos del número (empezando por el 1) escrito con numerales romanos. La C tiene dos segmentos (<), la D, tres.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A002963).
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20, 1, 18, 4, 13, 6, 10,...

Explicación  Lista

20, 1, 18, 4, 13, 6, 10,...

Explicación:
Son los números en una diana de dardos, empezando por el de arriba y siguiendo el sentido de las agujas del reloj.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A003833).
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0, 32, 15, 19, 4, 21, 2, 25, 17,...

Explicación  Lista

0, 32, 15, 19, 4, 21, 2, 25, 17,...

Explicación:
Son los números de una ruleta francesa, empezando por el 0 (que juega la banca) y siguiendo el sentido de las agujas del reloj.
Comentarios:
  • Aparece en la Enciclopedia de Secuencias (A069892).
  • Son 37 números, del 0 al 36.
  • Hay una versión americana que añade un doble 0 y con un orden distinto de los números (A069893).
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1, 5, 6, 9, 12, 14, 18, 19, 23, 26, 27,...

Explicación  Lista

1, 5, 6, 9, 12, 14, 18, 19, 23, 26, 27,...

Explicación:
Son los números de las casillas singulares del Juego de la Oca, incluyendo las que tienen oca.
Comentarios:
  • Las ocas están separadas 4 y 5 casillas. No siempre hay una oca en el número 1, aunque sí normalmente.
  • Las otras casillas singulares son: los puentes (6 y 12), la posada (19), los dados (26 y 53), el pozo (31), el laberinto (42), la cárcel (52) y la muerte (58).
Lista

Rodolfo Valeiras
Última modificación: 5 de marzo de 2003

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