Pyramorphix
El Pyramorphix es un rompecabezas inventado por Manfred Fritsche y comercializado inicialmente por Uwe Mèffert con el nombre de Pyramorphinx. En la posición resuelta tiene forma de tetraedro regular con una cara de cada color, asemejándose a un Pyraminx con menos piezas. Sin embargo, su mecanismo es completamente diferente, estando basado en un Pocket Cube (Cubo de Rubik 2×2×2).
Por cada arista del tetraedro hay un plano de corte paralelo a ella que divide la figura en dos partes iguales. Hay por tanto 6 movimientos básicos posibles (y sus inversos), cada uno de 90 grados. A medida que se hacen movimientos se puede perder la forma de tetraedro, lo que explica su nombre, derivado de Pyraminx (rompecabezas bandera de la marca Mèffert) con la partícula morph.
Aunque relacionado con el Pocket Cube, sus características propias lo hacen un rompecabezas interesante por sí mismo que combiene aprender a resolver de forma independiente.
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Formas posibles
Partiendo de la forma de tetraedro, por cada arista hay un plano de corte por el que se puede girar el rompecabezas. En la figura siguiente, el plano de corte (en rojo) es paralelo a la arista de la izquierda.
Como dijimos, hay por tanto 6 movimientos básicos posibles (y sus inversos), cada uno de 90 grados. Si, partiendo de la forma de tetraedro, el giro es de 180 grados (dos movimientos básicos seguidos) se conserva la forma; pero si es de 90 grados, se obtiene esta otra forma:
Posteriores movimientos generan otras formas, hasta un total de siete (dos de ellas simétricas).
Podemos imaginar el Pyramorphix como un octoedro regular al que se le han pegado cuatro tetraedros regulares en cuatro de sus caras. De hecho, este rompecabezas octoédrico (sin tetraedros pegados) fue comercializado por Mèffert con el nombre de Pyradiamond. El octoedro gira a lo largo de los seis planos formados por sus aristas y que lo dividen por la mitad.
Otra posibilidad es pegar tetraedros en todas las caras del octoedro. En este caso obtenemos una figura conocida como estrella octángula. Existen versiones artesanales del correspondiente rompecabezas desde 1985 y Mèffert lo vendió posteriormente con el nombre de Pyrastar.
Dejando fijo uno de los cuatro tetraedros hay 35 maneras de pegar los otros tres en las demás caras del octoedro (combinaciones de 7 elementos tomados de 3 en 3). Pero distintas combinaciones generan la misma forma. Se obtiene un total de siete formas, dos de ellas simétricas. Solo la forma de pirámide se corresponde con una sola distribución. Por ejemplo, si numeramos las caras del octoedro del 1 al 8 como en la siguiente imagen:
y pegamos tetraedros en las caras 1, 2, 3 y 4, tendremos una forma que podríamos llamar de muchas maneras, entre las que he elegido «la flor». La misma figura obtendremos pegando los tetraedros en las caras 1, 2, 5 y 6 o en las caras 1, 4, 5 y 8. Estas son las siete formas posibles (de azul las caras del octoedro):
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Todas estas formas aparecen al manipular el Pyramorphix. Tras una serie aleatoria de movimientos, solo una de cada 35 veces de media tendremos la forma de pirámide y las formas más frecuentes serán las de avión y erizo.
Posiciones posibles
El Pyramorphix está compuesto por 8 piezas visibles. Todas ellas se pueden colocar en cualquiera de las ocho posiciones existentes. Además, 4 de ellas pueden estar en cada posición con tres orientaciones distintas. Para evitar contar más de una vez cada configuración, podemos imaginar fija una de las 4 piezas esquina. Las otras se pueden colocar de 7! formas, y 3 de ellas con 3 orientaciones, lo que nos da un total de 7!×33 = 136.080 posibles estados del rompecabezas.
Aunque es un número grande, no lo es tanto en comparación con los 3.674.160 estados posibles del Pocket Cube y sobre todo con los 43.252.003.274.489.856.000 del Cubo de Rubik.
Resolución
Aunque, como hemos dicho, podemos considerar el Pyramorphix como un Cubo de Rubik 2×2×2 con un coloreado diferente, tiene características distintivas que hacen recomendable aplicar un método de resolución propio. El que aquí se expone sigue el siguiente orden:
- Recuperar la forma de pirámide.
- Colocar y orientar dos esquinas.
- Colocar las otras dos esquinas.
- Orientar esas dos esquinas.
- Colocar cada centro en su cara.
Algunos pasos no serán siempre necesarios. Por ejemplo, muchas veces después de poner la forma de pirámide tendremos dos piezas esquina bien colocadas y orientadas.
Para que la explicación sea más precisa usaremos la siguiente notación. Colocaremos el rompecabezas de forma que el teórico octoedro interno tenga al frente dos caras (las 1 y 5 según el criterio que fijamos antes).
El movimiento i (de izquierda) gira en sentido horario las cuatro caras que se unen en el vértice de la izquierda, llevando la cara 1 adonde estaba inicialmente la cara 5 (posición 5). El movimiento d (de derecha) gira en sentido horario las cuatro caras que se unen en el vértice de la derecha, llevando la cara 5 a la posición 1. El movimiento a (de arriba) gira en sentido horario las cuatro caras que se unen en el vértice de arriba, llevando al frente la cara 2. También necesitaremos referirnos al movimiento en torno al vértice donde se unen las caras 2, 3, 6 y, 7: lo llamaremos t y llevará la cara 6 a la posición 2. Los movimientos inversos de estos (con sentido antihorario) los indicaremos añadiendo «'» a la letra correspondiente. Por ejemplo, i' es un giro antihorario que lleva la cara 5 a la posición 1. El número 2 como superíndice indica un movimiento doble, como en a2 (dos veces seguidas a) o la repetición de una secuencia: (ia)2 equivale a iaia. La inversa de una secuencia está formada por sus movimientos inversos ejecutados al revés. Por ejemplo, (ia)' = a'i'.
Fase 1: Reponer la forma de pirámide
Lo primero será restaurar la forma de tetraedro original (de promedio, solo una de cada 35 veces no hará falta). La relación entre las seis formas (obviando una de las dos versiones del erizo) se ilustra en el siguiente diagrama:
Cada una de las flechas que van de una forma a otra representa un movimiento simple. Para ir de una forma cualquiera a la de pirámide hay que recorrer el diagrama hacia arriba. La mitad del rompecabezas que hay que girar para obtener la forma inmediatamente superior está coloreada de rojo (o morado donde coincide con una cara del octoedro). El erizo zurdo se convierte en pajarita con un movimiento análogo al ilustrado para su forma simétrica.
La idea esencial es conseguir la forma de pajarita, que se convierte en pirámide de forma obvia. Para conseguir la pajarita hay que enfrentar dos parejas de tetraedros contiguos. Tanto el erizo como la flor ya poseen esas dos parejas de tetraedros y basta un giro simple (desde el erizo) o doble (desde la flor, pasando por el camino por la forma de erizo) para enfrentarlos y tener la pajarita. En los casos del avión y el barco hay una sola pareja de tetraedros contiguos y hay que conseguir primero formar la otra (obteniendo el erizo).
La siguiente tabla especifica con más precisión los movimientos que hay que hacer en cada caso para restaurar la forma de pirámide. Identificamos la forma y colocamos el rompecabezas de modo que los «tetraedros pegados al octoedro» ocupen las posiciones indicadas entre paréntesis (la figura debe verse aproximadamente como en el dibujo; las caras azules pertenecen al octoedro) y hacemos los movimientos indicados según la convención antes expuesta.
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Fase 2: Colocar y orientar dos piezas de los vértices
El objetivo de la fase 2 es conseguir que (al menos) dos de las cuatro piezas de los vértices (los pequeños tetraedros) tengan los colores alineados, como en la siguiente imagen (obviamente, los colores pueden ser otros).
Muchas veces ya habrá una pareja de piezas vértice en estas condiciones. Si este no es el caso debe haber alguna pareja en la que los cuatro colores correspondientes sean diferentes (todos en la misma arista de la pirámide). La cara del frente de la pieza más cercana debe tener el mismo color que una de las dos visibles de la más alejada. Si esta última está a la izquierda ejecutaremos i2. Si está a la derecha, d2. Las dos piezas quedarán alineadas.
Fase 3: Colocar las otras dos piezas de los vértices
Una vez hay dos piezas vértice bien colocadas, las otras dos pueden estar bien colocadas (posiblemente no bien orientadas) o no estarlo. Ponemos la pirámide de forma que los dos tetraedos alineados (colocados y orientados) en la fase anterior estén abajo, como se ve en la imagen. Las caras que tienen al frente son del mismo color. La pieza de arriba está bien colocado si una de sus tres facetas (de blanco en la imagen) es también de ese color. Si ninguna de las tres facetas es del color correspondiente (amarillo en la imagen) ejecutamos a2 para poner en su lugar el tetraedro que estaba detrás.
Fase 4: Terminar de orientar las piezas de los vértices
Hay dos piezas vértice que pueden no estar bien orientadas y que orientaremos por separado. En cada caso ponemos una de ellos arriba, como en la imagen. Hay que hacer una secuencia de movimientos muy sencilla que depende de dónde esté la faceta que hay que llevar al frente. Si está a la izquierda la secuencia es (d'idi')2; si está a la derecha, (id'i'd)2.
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Fase 5: Colocar las piezas centro
Solo falta colocar cada pieza centro (las caras visibles del octoedro) entre los triángulos de su mismo color. Para ello nos será muy útil la forma que antes llamamos «flor».
A no ser que por suerte ya tengamos todos los centros bien colocados (y el rompecabezas resuelto), nuestro objetivo intermedio será colocarlos todos mal. Si ya se da este caso (que no concuerde ningún centro con los triángulos que lo rodean) pasamos a la subfase 5.B.
Subfase 5.A: Descolocar todas las piezas centro
Puede ser que haya tres centros mal colocados o que haya solo dos. En cualquiera de los dos casos, con el Pyraminx en la posición de siempre (no importa exactamente cómo), ejecutamos at2 y tendremos una vista de la forma «flor» similar a esta:
Como en ilustraciones anteriores, las facetas azules corresponden a caras del octoedro, es decir a los centros, y las grises a caras de los tetraedros o piezas vértice. En la realidad, tanto en la parte azul como en la gris estarán representados los cuatro colores del Pyraminx. Girando la parte representada arriba de azul (movimiento d, d' o d2) haremos que no coincida el color de ningún centro con el del triángulo contiguo (siempre será posible). En el ejemplo ilustrado abajo hay que ejecutar d'.
A continuación restauraremos la forma de pirámide ejecutando los mismos movimientos de antes al revés: t2a'.
Subfase 5.B: Colocar todas las piezas centro
Hay dos posibilidades: que haya que hacer dos intercambios de centros o que haya que hacer un 4-ciclo (es decir, llevar el centro de una cara a otra cara, el de esta a una tercera, el de la tercera a la cuarta y el de esta a la primera).
A la izquierda se ilustra el primer caso (abajo, oculto, debe encontrarse el centro azul rodeado de triángulos rojos). A la derecha, el segundo (abajo, el centro rojo rodeado de triángulos azules). Es evidente que en el primer caso siempre se puede poner la pirámide de forma que los centros a intercambiar estén como en la imagen. Puede que no sea tan evidente que en el segundo caso se pueda conseguir siempre esa posición (el centro de la derecha debe ir al frente, el del frente a la izquierda, el de la izquierda abajo y el de abajo a la derecha), pero también es cierto. En ambos casos, obtenemos otra vez la forma de flor con at2 y, esta vez, giramos los cuatro centros para alinear los colores.
En el primer caso quedan los colores iguales enfrentados y hay que ejecutar d2. En el segundo es d' el movimiento que alinea las facetas de idénticos colores. Para terminar, ejecutamos t2a' para restablecer la forma de pirámide y tenemos el rompecabezas resuelto.