fig. 1
Cococrash es el nombre con que se vende en España un rompecabezas conocido en otros países como Happy Cube (entre otros nombres) y creado por Dirk Laureyssens en 1986. Consiste en seis pequeñas láminas (120×88×8 mm) de un material sintético llamado EVA, cada una con seis piezas. Con estas piezas se pueden formar pequeños cubos y otras figuras tridimensionales más grandes. Cada lámina es de un color distinto y se puede comprar por separado (actualmente cuestan dos euros). Si no los encuentras en una tienda, en esta página se pueden comprar en línea (además de los Happy Cube normales hay otros tres tipos de conjuntos). Este rompecabezas ha recibido premios como mejor juguete del año en varios países y formó parte del pabellón de Bélgica de la Exposición Universal de Sevilla de 1992.
Cada una de las piezas consiste en un cuadrado central 3×3 con cubitos a su alrededor, que varían de una a otra. Por ejemplo, la siguiente pieza tiene 5 cubitos:
Cococrash se presenta con dibujos estampados en las piezas, pero no tienen el cuidado de colocar siempre las planchas en la misma posición cuando imprimen los dibujos, así que la misma pieza no tiene siempre el mismo dibujo. Para identificar una pieza no hay que fijarse en el dibujo, sino en el color y la forma. Dentro de cada conjunto no hay piezas con la misma forma, pero hay dos parejas de piezas de distinto color con la misma forma: una azul es igual a una roja (Za = Rf, en la imagen de abajo) y una naranja es igual a una morada (Na = Mf).
El reto inicial consiste en formar con cada una de las seis piezas del mismo color un cubo, ocupando cada pieza una cara del mismo. No es obligatorio que todos los dibujos queden a la vista (de hecho, esto sólo puede hacerse con el cubo verde). Se supone que cada conjunto tiene su propio nivel de dificultad (el azul es el más fácil, el morado el más difícil).
Para nombrar cada pieza he usado dos letras: una mayúscula para el color (A es amarillo y Z azul) y otra, minúscula, de la a a la f, que identifica a las piezas dentro de cada conjunto. La asignación de estas letras minúsculas es arbitraria, por lo dicho antes de los dibujos.
Cada pieza puede colocarse en ocho posiciones distintas, cuatro por un lado y cuatro por otro. Como ejemplo, he aquí las ocho posiciones de la pieza Nb:
Las posición 1 es la que tiene en la lámina (según la figura 2). La posición 2 se obtiene a partir de la 1 dándole un giro de un cuarto de vuelta hacia la derecha. De forma análoga se obtiene la posición 3 a partir de la 2 y la 4 a partir de la 3. La posición 5 se obtiene a partir de la 4 mediante una rotación por el eje horizontal. Las posiciones 6, 7 y 8 se obtienen también mediante giros de un cuarto de vuelta. Las posiciones 1-4 muestran una cara (con dibujos en mi propia versión) y las 5-8 la cara opuesta. Esta forma de numerar las posiciones la he tomado de Thomer M. Gil, por compatibilidad con su programa Wirrel.
Una pieza puede tener hasta cuatro ejes de simetría. La pieza Zc tiene los cuatro:
Cada eje de simetría en una pieza supone un par de posiciones equivalentes. La pieza Zc tiene las ocho posiciones equivalentes. Como señaló Javier Santos, los seis conjuntos parecen ordenados, más que por número de soluciones, por el número de piezas simétricas:
| conjunto | piezas con simetría | ejes de simetría totales |
|---|---|---|
| azul | 3 | 7 |
| verde | 3 | 4 |
| amarillo | 1 | 1 |
| naranja | 2 | 2 |
| rojo | 1 | 1 |
| morado | 0 | 0 |
Thomer M. Gil ha escrito un programa en C para resolver Cococrash y rompecabezas similares. Este programa se llama Wirrel (el rompecabezas se conoce en Holanda con el nombre de Wirrel Warrel) y el autor lo distribuye con licencia GPL (lo puedes bajar, en forma de código fuente, desde su página web). Los resultados de esta página son un fruto de este programa, al que he hecho pequeñas variaciones, principalmente encaminadas a reducir el número de soluciones equivalentes mostradas. La versión modificada se llama CocoWirrel y la puedes bajar pulsando aquí. CocoWirrel sólo está probado en Windows (concretamente Windows XP), pero con muy poco esfuerzo se puede adaptar para compilarlo en otros sistemas (el Wirrel original está pensado para sistemas tipo Unix). El paquete incluye el código fuente, ficheros de datos y un ejecutable para Windows creado con el estupendo compilador gratuito (para uso no comercial) lcc-win32.
CocoWirrel NO es una aplicación GUI, es decir, no funciona como el típico programa de Windows con ventanas, menúes, etc, sino que se debe ejecutar desde una sesión MS-DOS (símbolo del sistema, en XP). Para comunicarle lo que queremos hacer hay que añadir al mandato cocowirrel determinados argumentos. Los datos los lee de ficheros de texto y los resultados los muestra en la salida estándar, que podemos redirigir a un fichero.
Coco es un programa complementario de CocoWirrel que reúne varias utilidades interesantes. Permite filtrar las soluciones encontradas para eliminar las que son equivalentes a otras anteriores (ver más adelante). De momento esta característica sólo se ha usado para cubos 1×1×1 y para adaptarla a figuras mayores habrá que retocar el código fuente (¡ah!, el código fuente no está en C, sino en Free Pascal). También permite ver las piezas gráficamente en modo de texto (aunque parezca una contradicción), usando rayitas y cruces, así como extraer las soluciones con determinadas cantidades de piezas de cada tipo. Todo esto está explicado en la documentación adjunta (fichero doc\Leeme.txt).
Como ya se ha dicho anteriormente, el reto inicial es formar cubos de un solo color (cubos 1×1×1 formados con las seis piezas de un conjunto). Algunos de estos cubos se pueden formar de varias formas.
| Problema 1 |
|---|
| Formar un cubo de cada color |
| Soluciones |
Para representar una solución del cubo 1×1×1 usaremos el siguiente desarrollo plano:
Cada cuadrado representa una cara del cubo y una pieza en una de las ocho posibles posiciones. Por ejemplo, lo siguiente es un cubo de tres colores:
1: Zd-1 2: Za-3 3: Va-3 4: Vc-6 5: Ac-8 6: Ze-1
Los números del 1 al 6 corresponden a las seis caras del desarrollo, según la figura 5. Se puede escribir de forma más compacta en una sola línea:
Zd-1 Za-3 Va-3 Vc-6 Ac-8 Ze-1
Para reproducir este cubo, hay que poner sobre el desarrollo las piezas en las posiciones indicadas, como en la siguiente figura:
Y ya sólo falta montar el cubo doblando por donde se unen las piezas. Las caras que están hacia arriba pueden quedar tanto en el exterior como en el interior del cubo. Así que por cada solución tenemos en realidad dos posibles cubos, que consideraremos equivalentes. Cuando una solución incluye piezas con simetrías se pueden usar indistintamente las posiciones equivalentes de éstas sin que tampoco contemos estas soluciones como distintas. Por ejemplo, en el caso anterior podemos sustituir Za-3 por Za-6. En cambio, dos soluciones que incluyen piezas idénticas pero de distinto color se considerarán distintas (si sustituimos Za-3 por Rf-1 ya es otra solución)
Siguiendo estos criterios para contar soluciones, tenemos la siguiente tabla con las cantidades de soluciones del problema 1. Puedes intentar encontralas todas sin mirar las soluciones.
| conjunto | número de soluciones |
|---|---|
| azul | 3 |
| verde | 5 |
| amarillo | 4 |
| naranja | 1 |
| rojo | 1 |
| morado | 1 |
| Problema 2 |
|---|
| Formar un cubo de dos colores con tres piezas de cada color |
| Soluciones |
Este segundo problema se puede resolver de muchas formas distintas (131 en total), pero no con todas las combinaciones de colores. Las que tienen más soluciones son azul-verde y verde-amarillo. También se puede hacer las combinaciones azul-amarillo, verde-rojo, amarillo-naranja y azul-naranja. La siguiente tabla muestra el número de soluciones de cada combinación (las que no aparecen no se pueden hacer).
| combinación | número de soluciones |
|---|---|
| azul-verde | 58 |
| verde-amarillo | 51 |
| azul-amarillo | 15 |
| verde-rojo | 3 |
| amarillo-naranja | 3 |
| azul-naranja | 1 |
| Problema 3 |
|---|
| Formar un cubo de tres colores con dos piezas de cada color |
| Soluciones |
Todavía hay más soluciones para este problema (333), pudiéndose resolver con 13 de las 20 posibles ternas de colores que existen en total. La cantidad de soluciones posibles son las de la tabla siguiente. Puede verse que destaca la combinación azul-verde-amarillo.
| combinación | número de soluciones |
|---|---|
| azul-verde-amarillo | 233 |
| azul-amarillo-rojo | 25 |
| verde-amarillo-rojo | 24 |
| azul-verde-rojo | 14 |
| verde-amarillo-naranja | 13 |
| amarillo-naranja-rojo | 9 |
| verde-naranja-rojo | 5 |
| azul-verde-naranja | 3 |
| azul-amarillo-morado | 2 |
| verde-amarillo-morado | 2 |
| azul-naranja-rojo | 1 |
| verde-rojo-morado | 1 |
| amarillo-naranja-morado | 1 |
| Problema 4 |
|---|
| Formar un cubo de seis colores con una pieza de cada color |
| Soluciones |
Hay veinticinco soluciones posibles para este problema.
Además de los 504 cubos 1×1×1 con el mismo número de piezas de cada color que ya hemos visto, se pueden construir muchos otros si no le imponemos esta restricción, usando las 36 piezas de los seis conjuntos. En total hay 6844 cubos 1×1×1 posibles. Arriba aparece, como ejemplo, un cubo formado por tres piezas azules, dos verdes y una amarilla. Es sólo uno de las 225 posibles cubos con esta combinación. La siguiente tabla muestra todas las combinaciones posibles, y el número de soluciones de cada una. Esta tabla incluye los datos de las tablas 2, 3 y 4.
Z V A N R M Núm Z V A N R M Núm Z V A N R M Núm ------------------ ------------------ ------------------ 6 0 0 0 0 0 : 3 1 2 0 1 2 0 : 19 0 2 0 3 1 0 : 4 5 1 0 0 0 0 : 0 1 2 0 1 1 1 : 7 0 2 0 3 0 1 : 1 5 0 1 0 0 0 : 0 1 2 0 1 0 2 : 2 0 2 0 2 2 0 : 5 5 0 0 1 0 0 : 0 1 2 0 0 3 0 : 11 0 2 0 2 1 1 : 4 5 0 0 0 1 0 : 3 1 2 0 0 2 1 : 4 0 2 0 2 0 2 : 0 5 0 0 0 0 1 : 0 1 2 0 0 1 2 : 1 0 2 0 1 3 0 : 1 4 2 0 0 0 0 : 46 1 2 0 0 0 3 : 0 0 2 0 1 2 1 : 3 4 1 1 0 0 0 : 65 1 1 4 0 0 0 : 59 0 2 0 1 1 2 : 4 4 1 0 1 0 0 : 8 1 1 3 1 0 0 : 52 0 2 0 1 0 3 : 0 4 1 0 0 1 0 : 12 1 1 3 0 1 0 : 123 0 2 0 0 4 0 : 0 4 1 0 0 0 1 : 0 1 1 3 0 0 1 : 33 0 2 0 0 3 1 : 1 4 0 2 0 0 0 : 11 1 1 2 2 0 0 : 30 0 2 0 0 2 2 : 1 4 0 1 1 0 0 : 0 1 1 2 1 1 0 : 112 0 2 0 0 1 3 : 4 4 0 1 0 1 0 : 34 1 1 2 1 0 1 : 35 0 2 0 0 0 4 : 0 4 0 1 0 0 1 : 0 1 1 2 0 2 0 : 39 0 1 5 0 0 0 : 0 4 0 0 2 0 0 : 0 1 1 2 0 1 1 : 72 0 1 4 1 0 0 : 0 4 0 0 1 1 0 : 3 1 1 2 0 0 2 : 13 0 1 4 0 1 0 : 21 4 0 0 1 0 1 : 0 1 1 1 3 0 0 : 8 0 1 4 0 0 1 : 5 4 0 0 0 2 0 : 2 1 1 1 2 1 0 : 45 0 1 3 2 0 0 : 5 4 0 0 0 1 1 : 1 1 1 1 2 0 1 : 17 0 1 3 1 1 0 : 13 4 0 0 0 0 2 : 0 1 1 1 1 2 0 : 38 0 1 3 1 0 1 : 7 3 3 0 0 0 0 : 58 1 1 1 1 1 1 : 25 0 1 3 0 2 0 : 7 3 2 1 0 0 0 : 225 1 1 1 1 0 2 : 6 0 1 3 0 1 1 : 16 3 2 0 1 0 0 : 43 1 1 1 0 3 0 : 16 0 1 3 0 0 2 : 3 3 2 0 0 1 0 : 66 1 1 1 0 2 1 : 21 0 1 2 3 0 0 : 3 3 2 0 0 0 1 : 0 1 1 1 0 1 2 : 10 0 1 2 2 1 0 : 28 3 1 2 0 0 0 : 202 1 1 1 0 0 3 : 1 0 1 2 2 0 1 : 7 3 1 1 1 0 0 : 79 1 1 0 4 0 0 : 0 0 1 2 1 2 0 : 15 3 1 1 0 1 0 : 90 1 1 0 3 1 0 : 1 0 1 2 1 1 1 : 14 3 1 1 0 0 1 : 12 1 1 0 3 0 1 : 0 0 1 2 1 0 2 : 6 3 1 0 2 0 0 : 3 1 1 0 2 2 0 : 4 0 1 2 0 3 0 : 5 3 1 0 1 1 0 : 19 1 1 0 2 1 1 : 6 0 1 2 0 2 1 : 23 3 1 0 1 0 1 : 0 1 1 0 2 0 2 : 2 0 1 2 0 1 2 : 0 3 1 0 0 2 0 : 7 1 1 0 1 3 0 : 8 0 1 2 0 0 3 : 0 3 1 0 0 1 1 : 7 1 1 0 1 2 1 : 5 0 1 1 4 0 0 : 0 3 1 0 0 0 2 : 0 1 1 0 1 1 2 : 3 0 1 1 3 1 0 : 1 3 0 3 0 0 0 : 15 1 1 0 1 0 3 : 0 0 1 1 3 0 1 : 2 3 0 2 1 0 0 : 21 1 1 0 0 4 0 : 1 0 1 1 2 2 0 : 17 3 0 2 0 1 0 : 9 1 1 0 0 3 1 : 1 0 1 1 2 1 1 : 4 3 0 2 0 0 1 : 4 1 1 0 0 2 2 : 2 0 1 1 2 0 2 : 1 3 0 1 2 0 0 : 2 1 1 0 0 1 3 : 0 0 1 1 1 3 0 : 4 3 0 1 1 1 0 : 26 1 1 0 0 0 4 : 0 0 1 1 1 2 1 : 4 3 0 1 1 0 1 : 2 1 0 5 0 0 0 : 0 0 1 1 1 1 2 : 5 3 0 1 0 2 0 : 6 1 0 4 1 0 0 : 5 0 1 1 1 0 3 : 2 3 0 1 0 1 1 : 4 1 0 4 0 1 0 : 13 0 1 1 0 4 0 : 0 3 0 1 0 0 2 : 2 1 0 4 0 0 1 : 5 0 1 1 0 3 1 : 3 3 0 0 3 0 0 : 1 1 0 3 2 0 0 : 3 0 1 1 0 2 2 : 1 3 0 0 2 1 0 : 3 1 0 3 1 1 0 : 31 0 1 1 0 1 3 : 0 3 0 0 2 0 1 : 1 1 0 3 1 0 1 : 5 0 1 1 0 0 4 : 0 3 0 0 1 2 0 : 6 1 0 3 0 2 0 : 15 0 1 0 5 0 0 : 0 3 0 0 1 1 1 : 1 1 0 3 0 1 1 : 9 0 1 0 4 1 0 : 0 3 0 0 1 0 2 : 0 1 0 3 0 0 2 : 0 0 1 0 4 0 1 : 0 3 0 0 0 3 0 : 0 1 0 2 3 0 0 : 1 0 1 0 3 2 0 : 2 3 0 0 0 2 1 : 1 1 0 2 2 1 0 : 4 0 1 0 3 1 1 : 0 3 0 0 0 1 2 : 0 1 0 2 2 0 1 : 5 0 1 0 3 0 2 : 0 3 0 0 0 0 3 : 0 1 0 2 1 2 0 : 21 0 1 0 2 3 0 : 1 2 4 0 0 0 0 : 73 1 0 2 1 1 1 : 22 0 1 0 2 2 1 : 2 2 3 1 0 0 0 : 329 1 0 2 1 0 2 : 6 0 1 0 2 1 2 : 2 2 3 0 1 0 0 : 30 1 0 2 0 3 0 : 21 0 1 0 2 0 3 : 0 2 3 0 0 1 0 : 38 1 0 2 0 2 1 : 5 0 1 0 1 4 0 : 0 2 3 0 0 0 1 : 0 1 0 2 0 1 2 : 11 0 1 0 1 3 1 : 0 2 2 2 0 0 0 : 233 1 0 2 0 0 3 : 2 0 1 0 1 2 2 : 1 2 2 1 1 0 0 : 112 1 0 1 4 0 0 : 0 0 1 0 1 1 3 : 2 2 2 1 0 1 0 : 207 1 0 1 3 1 0 : 2 0 1 0 1 0 4 : 0 2 2 1 0 0 1 : 11 1 0 1 3 0 1 : 1 0 1 0 0 5 0 : 0 2 2 0 2 0 0 : 3 1 0 1 2 2 0 : 5 0 1 0 0 4 1 : 0 2 2 0 1 1 0 : 63 1 0 1 2 1 1 : 3 0 1 0 0 3 2 : 0 2 2 0 1 0 1 : 1 1 0 1 2 0 2 : 2 0 1 0 0 2 3 : 0 2 2 0 0 2 0 : 14 1 0 1 1 3 0 : 9 0 1 0 0 1 4 : 0 2 2 0 0 1 1 : 8 1 0 1 1 2 1 : 13 0 1 0 0 0 5 : 0 2 2 0 0 0 2 : 0 1 0 1 1 1 2 : 4 0 0 6 0 0 0 : 4 2 1 3 0 0 0 : 121 1 0 1 1 0 3 : 3 0 0 5 1 0 0 : 0 2 1 2 1 0 0 : 75 1 0 1 0 4 0 : 0 0 0 5 0 1 0 : 2 2 1 2 0 1 0 : 295 1 0 1 0 3 1 : 2 0 0 5 0 0 1 : 0 2 1 2 0 0 1 : 41 1 0 1 0 2 2 : 0 0 0 4 2 0 0 : 0 2 1 1 2 0 0 : 35 1 0 1 0 1 3 : 2 0 0 4 1 1 0 : 5 2 1 1 1 1 0 : 93 1 0 1 0 0 4 : 0 0 0 4 1 0 1 : 0 2 1 1 1 0 1 : 25 1 0 0 5 0 0 : 0 0 0 4 0 2 0 : 0 2 1 1 0 2 0 : 33 1 0 0 4 1 0 : 1 0 0 4 0 1 1 : 0 2 1 1 0 1 1 : 40 1 0 0 4 0 1 : 0 0 0 4 0 0 2 : 0 2 1 1 0 0 2 : 5 1 0 0 3 2 0 : 0 0 0 3 3 0 0 : 3 2 1 0 3 0 0 : 1 1 0 0 3 1 1 : 1 0 0 3 2 1 0 : 3 2 1 0 2 1 0 : 5 1 0 0 3 0 2 : 0 0 0 3 2 0 1 : 4 2 1 0 2 0 1 : 2 1 0 0 2 3 0 : 1 0 0 3 1 2 0 : 5 2 1 0 1 2 0 : 18 1 0 0 2 2 1 : 0 0 0 3 1 1 1 : 2 2 1 0 1 1 1 : 6 1 0 0 2 1 2 : 1 0 0 3 1 0 2 : 2 2 1 0 1 0 2 : 0 1 0 0 2 0 3 : 0 0 0 3 0 3 0 : 0 2 1 0 0 3 0 : 12 1 0 0 1 4 0 : 0 0 0 3 0 2 1 : 0 2 1 0 0 2 1 : 12 1 0 0 1 3 1 : 1 0 0 3 0 1 2 : 1 2 1 0 0 1 2 : 1 1 0 0 1 2 2 : 0 0 0 3 0 0 3 : 0 2 1 0 0 0 3 : 0 1 0 0 1 1 3 : 0 0 0 2 4 0 0 : 1 2 0 4 0 0 0 : 11 1 0 0 1 0 4 : 0 0 0 2 3 1 0 : 3 2 0 3 1 0 0 : 27 1 0 0 0 5 0 : 1 0 0 2 3 0 1 : 1 2 0 3 0 1 0 : 17 1 0 0 0 4 1 : 0 0 0 2 2 2 0 : 9 2 0 3 0 0 1 : 7 1 0 0 0 3 2 : 0 0 0 2 2 1 1 : 2 2 0 2 2 0 0 : 0 1 0 0 0 2 3 : 0 0 0 2 2 0 2 : 1 2 0 2 1 1 0 : 33 1 0 0 0 1 4 : 0 0 0 2 1 3 0 : 1 2 0 2 1 0 1 : 16 1 0 0 0 0 5 : 0 0 0 2 1 2 1 : 2 2 0 2 0 2 0 : 25 0 6 0 0 0 0 : 5 0 0 2 1 1 2 : 5 2 0 2 0 1 1 : 7 0 5 1 0 0 0 : 14 0 0 2 1 0 3 : 0 2 0 2 0 0 2 : 2 0 5 0 1 0 0 : 3 0 0 2 0 4 0 : 0 2 0 1 3 0 0 : 2 0 5 0 0 1 0 : 0 0 0 2 0 3 1 : 1 2 0 1 2 1 0 : 7 0 5 0 0 0 1 : 0 0 0 2 0 2 2 : 0 2 0 1 2 0 1 : 3 0 4 2 0 0 0 : 33 0 0 2 0 1 3 : 4 2 0 1 1 2 0 : 10 0 4 1 1 0 0 : 13 0 0 2 0 0 4 : 0 2 0 1 1 1 1 : 13 0 4 1 0 1 0 : 23 0 0 1 5 0 0 : 0 2 0 1 1 0 2 : 2 0 4 1 0 0 1 : 2 0 0 1 4 1 0 : 0 2 0 1 0 3 0 : 7 0 4 0 2 0 0 : 1 0 0 1 4 0 1 : 0 2 0 1 0 2 1 : 3 0 4 0 1 1 0 : 9 0 0 1 3 2 0 : 0 2 0 1 0 1 2 : 0 0 4 0 1 0 1 : 1 0 0 1 3 1 1 : 0 2 0 1 0 0 3 : 0 0 4 0 0 2 0 : 1 0 0 1 3 0 2 : 0 2 0 0 4 0 0 : 1 0 4 0 0 1 1 : 2 0 0 1 2 3 0 : 0 2 0 0 3 1 0 : 1 0 4 0 0 0 2 : 0 0 0 1 2 2 1 : 0 2 0 0 3 0 1 : 0 0 3 3 0 0 0 : 51 0 0 1 2 1 2 : 1 2 0 0 2 2 0 : 1 0 3 2 1 0 0 : 43 0 0 1 2 0 3 : 0 2 0 0 2 1 1 : 1 0 3 2 0 1 0 : 54 0 0 1 1 4 0 : 1 2 0 0 2 0 2 : 0 0 3 2 0 0 1 : 12 0 0 1 1 3 1 : 1 2 0 0 1 3 0 : 2 0 3 1 2 0 0 : 14 0 0 1 1 2 2 : 0 2 0 0 1 2 1 : 0 0 3 1 1 1 0 : 40 0 0 1 1 1 3 : 1 2 0 0 1 1 2 : 0 0 3 1 1 0 1 : 12 0 0 1 1 0 4 : 0 2 0 0 1 0 3 : 0 0 3 1 0 2 0 : 10 0 0 1 0 5 0 : 0 2 0 0 0 4 0 : 0 0 3 1 0 1 1 : 12 0 0 1 0 4 1 : 0 2 0 0 0 3 1 : 1 0 3 1 0 0 2 : 4 0 0 1 0 3 2 : 0 2 0 0 0 2 2 : 0 0 3 0 3 0 0 : 0 0 0 1 0 2 3 : 0 2 0 0 0 1 3 : 0 0 3 0 2 1 0 : 5 0 0 1 0 1 4 : 0 2 0 0 0 0 4 : 0 0 3 0 2 0 1 : 1 0 0 1 0 0 5 : 0 1 5 0 0 0 0 : 0 0 3 0 1 2 0 : 8 0 0 0 6 0 0 : 1 1 4 1 0 0 0 : 74 0 3 0 1 1 1 : 3 0 0 0 5 1 0 : 0 1 4 0 1 0 0 : 29 0 3 0 1 0 2 : 0 0 0 0 5 0 1 : 1 1 4 0 0 1 0 : 36 0 3 0 0 3 0 : 3 0 0 0 4 2 0 : 0 1 4 0 0 0 1 : 0 0 3 0 0 2 1 : 5 0 0 0 4 1 1 : 0 1 3 2 0 0 0 : 240 0 3 0 0 1 2 : 0 0 0 0 4 0 2 : 0 1 3 1 1 0 0 : 62 0 3 0 0 0 3 : 0 0 0 0 3 3 0 : 0 1 3 1 0 1 0 : 227 0 2 4 0 0 0 : 9 0 0 0 3 2 1 : 0 1 3 1 0 0 1 : 15 0 2 3 1 0 0 : 31 0 0 0 3 1 2 : 2 1 3 0 2 0 0 : 7 0 2 3 0 1 0 : 40 0 0 0 3 0 3 : 0 1 3 0 1 1 0 : 30 0 2 3 0 0 1 : 6 0 0 0 2 4 0 : 0 1 3 0 1 0 1 : 7 0 2 2 2 0 0 : 13 0 0 0 2 3 1 : 0 1 3 0 0 2 0 : 13 0 2 2 1 1 0 : 65 0 0 0 2 2 2 : 0 1 3 0 0 1 1 : 10 0 2 2 1 0 1 : 16 0 0 0 2 1 3 : 2 1 3 0 0 0 2 : 0 0 2 2 0 2 0 : 24 0 0 0 2 0 4 : 0 1 2 3 0 0 0 : 139 0 2 2 0 1 1 : 12 0 0 0 1 5 0 : 0 1 2 2 1 0 0 : 174 0 2 2 0 0 2 : 2 0 0 0 1 4 1 : 0 1 2 2 0 1 0 : 175 0 2 1 3 0 0 : 7 0 0 0 1 3 2 : 0 1 2 2 0 0 1 : 48 0 2 1 2 1 0 : 13 0 0 0 1 2 3 : 0 1 2 1 2 0 0 : 11 0 2 1 2 0 1 : 10 0 0 0 1 1 4 : 0 1 2 1 1 1 0 : 111 0 2 1 1 2 0 : 24 0 0 0 1 0 5 : 1 1 2 1 1 0 1 : 15 0 2 1 1 1 1 : 7 0 0 0 0 6 0 : 1 1 2 1 0 2 0 : 40 0 2 1 1 0 2 : 1 0 0 0 0 5 1 : 0 1 2 1 0 1 1 : 29 0 2 1 0 3 0 : 6 0 0 0 0 4 2 : 0 1 2 1 0 0 2 : 3 0 2 1 0 2 1 : 8 0 0 0 0 3 3 : 0 1 2 0 3 0 0 : 6 0 2 1 0 1 2 : 0 0 0 0 0 2 4 : 0 1 2 0 2 1 0 : 11 0 2 1 0 0 3 : 0 0 0 0 0 1 5 : 0 1 2 0 2 0 1 : 8 0 2 0 4 0 0 : 0 0 0 0 0 0 6 : 1 |
Para terminar con este análisis de los cubos 1×1×1, digamos que de los 1.947.792 posibles conjuntos de seis piezas (combinaciones de 36 elementos tomados de 6 en 6) se pueden resolver 2173. Hay 1066 conjuntos con una sola solución (los conjuntos naranja, rojo y morado son tres de ellos). Los conjuntos con más soluciones pueden formar un cubo de 35 formas distintas. Uno de ellos es: Za-Zd-Va-Vc-Vf-Aa. El otro cambia Za por Rf.
Si tu navegador puede ejecutar código JavaScript, pulsando el botón de abajo aparecerá una ventana con un conjunto de seis piezas con las que se puede formar un cubo. Este conjunto se elige al azar entre los 2173 existentes.